06 · 逻辑回归与分类评估

一、二分类与 logit

当因变量是二分类（如有效/无效、发病/未发病、死亡/存活）时，常用逻辑回归建立“自变量 → 发生概率”的关系。逻辑回归既能用于解释（OR）也能用于预测（概率/分类）。

1.1 为什么不用线性回归

1.2 logit 与优势

逻辑回归把概率 \(p\) 映射到实数轴：

\[ \mathrm{logit}(p) = \log\left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p \]

其中 \(\frac{p}{1-p}\) 称为优势（odds）。系数 \(\beta\) 的指数 \(\exp(\beta)\) 就是优势比（OR）。

二、glm 与系数解读

R 中用 glm(..., family = binomial) 拟合二项分布的广义线性模型（逻辑回归）。示例用 R 内置数据集 mtcars：以变速箱类型 am（0 自动 / 1 手动）为结局。

2.1 glm(..., binomial)

data(mtcars)

# 把 am 当作 0/1 结局
fit <- glm(am ~ wt + hp, data = mtcars, family = binomial)
summary(fit)

2.2 OR 与置信区间

逻辑回归的系数是 log(OR)。取指数即可得到 OR，并可报告 OR 的置信区间。

# OR（优势比）
or <- exp(coef(fit))
or

# OR 的置信区间
or_ci <- exp(confint(fit))
or_ci

2.3 预测概率与阈值

模型输出的是概率 \(p\)。把概率转换成类别需要选择阈值（常见 0.5，但医学场景往往需要基于成本/风险调整阈值）。

# 预测概率（0~1）
pred_prob <- predict(fit, type = "response")
head(pred_prob)

# 用 0.5 阈值转类别
pred_class <- ifelse(pred_prob >= 0.5, 1, 0)

三、混淆矩阵与指标

分类评估从混淆矩阵出发：真阳性（TP）、假阳性（FP）、真阴性（TN）、假阴性（FN）。

3.1 Accuracy / Recall / Specificity

# 混淆矩阵
tb <- table(真实 = mtcars$am, 预测 = pred_class)
tb

TP <- tb["1","1"]; TN <- tb["0","0"]; FP <- tb["0","1"]; FN <- tb["1","0"]
acc <- (TP + TN) / sum(tb)
sens <- TP / (TP + FN)  # 灵敏度/召回
spec <- TN / (TN + FP)  # 特异度

c(accuracy = acc, sensitivity = sens, specificity = spec)

3.2 类别不平衡

当阳性远少于阴性时，单看准确率可能误导（“全预测为阴性”也可能准确率很高）。这时更应关注灵敏度/特异度、ROC/AUC，或精确率（Precision）等。

四、ROC 与 AUC

ROC 曲线以 “1−特异度（FPR）” 为横轴、灵敏度（TPR）为纵轴，展示阈值变化下模型的整体判别能力。

4.1 ROC 的含义

• 每个阈值对应一对（FPR, TPR），连起来就是 ROC 曲线。
• 曲线越靠近左上角（高 TPR、低 FPR）越好。

4.2 AUC 的解读

AUC（曲线下面积）可理解为：随机抽取一个阳性与一个阴性，模型给阳性的预测概率更高的概率。AUC 越接近 1 判别越强；0.5 接近随机。

# 需要 pROC 包（若环境已安装）
# install.packages("pROC")
library(pROC)
roc_obj <- roc(mtcars$am, pred_prob)
auc(roc_obj)
plot(roc_obj)

五、小结与练习

本节要求：能用 glm(..., family = binomial) 拟合逻辑回归；会将系数转为 OR 并解释；能从混淆矩阵计算常用指标，并理解 ROC/AUC 的意义与阈值选择。