07 · 聚类与降维

一、无监督学习与距离

聚类与降维属于无监督学习：数据没有“标签”，目标是发现结构（亚型/分层）、压缩信息（降维/可视化）、或为后续建模提供特征。医学中常用于人群分层、疾病亚型发现、多指标综合与高维数据预处理。

1.1 聚类要解决什么

目标
把样本分成若干组，使组内相似、组间差异大。
难点
“相似”依赖距离度量与变量尺度；不同算法的“簇形状”假设不同。
关键提醒：聚类结果不是“真相”，而是一种数据驱动的分组方案；必须结合临床解释与稳定性验证。

1.2 距离与标准化

聚类通常基于距离（欧氏、曼哈顿等）。若变量量纲不同（如年龄 vs 生化指标），不标准化会导致大尺度变量主导距离。

# iris 的 4 个连续变量：建议标准化后再聚类/PCA
data(iris)
X <- iris[, 1:4]
Xz <- scale(X)  # Z-score 标准化

# 距离矩阵（欧氏距离）
D <- dist(Xz)

二、K-means 聚类

K-means 假定簇大致呈“球形/凸形”，通过迭代最小化簇内平方和（Within-Cluster Sum of Squares, WSS）。需要预先指定簇数 \(k\)。

2.1 算法与输出

# K-means：示例用 iris（只用数值列）
set.seed(123)
km <- kmeans(Xz, centers = 3, nstart = 25)

km$cluster   # 每个样本所属类
km$centers   # 各类中心（在标准化空间）
table(km$cluster)
nstart：多次随机初始化取最优，能显著降低陷入局部最优的概率。

2.2 如何选 k

肘部法（Elbow）
画 WSS 随 k 变化曲线，寻找“收益递减”的拐点。
轮廓系数（Silhouette）
衡量“类内紧密 vs 类间分离”，越大越好（需额外包）。
# 肘部法：计算不同 k 的 WSS
wss <- sapply(1:8, function(k) kmeans(Xz, centers = k, nstart = 10)$tot.withinss)
plot(1:8, wss, type = "b", xlab = "k", ylab = "WSS")

三、层次聚类

层次聚类不必预先指定 k：从每个样本各自成簇开始，逐步合并最相近的簇，形成树状图（dendrogram）。最后在某个高度切割得到簇。

3.1 dist + hclust

# 层次聚类（Ward 方法常用于连续变量）
hc <- hclust(D, method = "ward.D2")
plot(hc, labels = FALSE, main = "Iris 层次聚类树状图")

3.2 树状图与切割

# 切割为 3 类
cl3 <- cutree(hc, k = 3)
table(cl3)

# 与真实 Species 对照（仅用于理解，不应把聚类当分类）
table(真实 = iris$Species, 聚类 = cl3)
选择方法：不同 linkage（complete/average/Ward）对应不同“簇形状”偏好，建议做稳定性比较。

四、PCA 主成分分析

PCA（主成分分析）是一种线性降维方法：用少数几个相互正交的主成分，尽可能保留原始变量的方差信息。常用于可视化、去相关、压缩冗余。

4.1 主成分与方差解释

# PCA：建议对连续变量 scale
pca <- prcomp(X, scale. = TRUE)
summary(pca)   # 每个主成分解释的方差比例

# 碎石图（Scree plot）
plot(pca, type = "l")

4.2 得分与载荷的解读

  • 得分（scores）：每个样本在主成分坐标系中的位置，可用于二维散点图。
  • 载荷（loadings/rotation）：主成分是原变量的线性组合，载荷表示每个变量对主成分的贡献方向与大小。
# 前两主成分得分（可画散点图）
head(pca$x[, 1:2])

# 载荷（变量贡献）
pca$rotation[, 1:2]

# 双标图：样本 + 变量方向（适合教学展示）
biplot(pca, cex = 0.7)
医学解读：若 PC1 主要由“多个强相关指标”共同贡献，可把 PC1 视为某种“综合表型/严重程度轴”，但必须结合变量含义解释。

五、小结与练习

本节要求：理解聚类与降维的目的；能在标准化后使用 kmeans、hclust + cutree 完成聚类；能使用 prcomp 做 PCA 并解读方差比例、得分与载荷。

练习建议（R 内置数据集）：
  • 用 iris：分别做 K-means（k=2~5）并用肘部法选择 k；与层次聚类结果对比。
  • 用 USArrests：先标准化，再做 PCA，解释 PC1/PC2 可能代表的“综合维度”。
  • 写一段“聚类解释”：每一类的中心/均值特征是什么？是否有可解释的临床含义？
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